高中數學中,複數的平方為什麼不等於模長的平方?

時間 2022-01-02 23:49:45

1樓:某叄

這一點無關乎高中數學.

從實質上看,乙個平面 和複數域 應當是等同的. 這一點從複數的乙個定義中可以看出:

定義複數為實數的有序對 組成的集合……

但無論是從什麼方面出發,複數域和平面不應當是等同的,在很多性質上它們沒有展現出良好的統一性. 譬如,題主的問題. 乙個複數的平方是乙個複數,而乙個向量的平方是它的模長的平方.

這一點的原因在我上述的用語中就可以說明原因了,複數系連同它的加法即乘法構成了乙個域,但乙個平面最多是連同它的加法構成了乙個群. 在上面引用塊的內容中,為了強調複數域與平面的一種較強的相關性,將後文對它的運算省去了,而後面的乘法才是將複數域同平面區分開的關鍵.

和最前頭的那位答主說的一樣,向量的點乘丟失了它在平面中的方向資訊,而複數的積依然輸出了方向. 那這點就不重複了.

再從複數本身的意義來看.

複數它包含了的資訊,一方面可以稱為「實部」和「虛部」,這兩資訊可以確定乙個複數,但這樣便無法顯示出複數與向量的區別;所以,另一方面,稱為「縮放」和「旋轉」,這兩個資訊同樣確定了乙個複數,或者將「縮放」稱作「相似」也沒多大關係.

開始所說的兩個資訊體現了複數與向量的相似性,倘若是用運動的方式表述便是「實軸上的位移」和「虛軸上的位移」,這樣可以將其餘後兩個資訊「縮放」和「旋轉」相對應. 前兩個資訊的運動的表示,無論是在複數中還是向量中實際上都是加法的體現,兩個複數或向量相加就是將它們在相應軸上的運動疊加起來了.

後面所說的兩個資訊便體現了複數與向量的差異,若是用靜止的方式表述便是「長度」和「角度」,這兩個資訊雖然一樣可以確定乙個向量,卻無法對它做多少運算. 而在複數中,這兩個資訊的運動的表示體現了複數的乘法的內容,即是兩個複數做乘法就是將它們縮放和旋轉的運動疊加起來了,或者說,是把在極座標的對應軸上的運動疊加起來了.

若從複數的加法和乘法的方面考慮,什麼東西既可以滿足線性的運算(即加法),又可以體現乘法中的縮放和旋轉?這時,便會想到矩陣,它既滿足線性的運算,又可以表現出縮放和旋轉的運動.

複數的一般形式、有序對形式和其矩陣形式的對應關係如下矩陣如下:

複數的指數形式、三角形式和其矩陣形式的對應關係如下:

而複數的模長雖不是它本身的平方,而是它與它的共軛的積. 這一點從複數的共軛保持模長,而方向相反(不改變縮放,反向旋轉)可以很容易看出.

2樓:傻東西

複數是乙個含有兩個維度(我也忘了這名詞叫啥了,就叫做維度吧)

模長是只有乙個維度的量

兩個當然不能等價,並且如果真的定義複數的平方是模長的平方的話,你怎麼定義開方運算?

3樓:楊樹森

這個問題不應該直接給出答案,而是希望你思考,在什麼情況下,乙個東西和自己做乘法,會得到它的模長的平方。

首先要問什麼東西有模長。高中數學裡有模長的就是實數、複數和向量。實數和複數都有乘法,所以有平方。

向量沒有乘法,但是有數量積,於是可以和自己做數量積。這三種事物的「平方」有哪些相同點和不同點?想認識「平方」,就要先認識乘法和數量積。

實數有正數、負數和零之分。除去零,兩個實數相乘的正負號被我們熟知。兩個正負號相同的實數相乘必定得到正數,也就是失去了原來的正負號。

實數的模長就是實數的絕對值,它除去了實數的正負號,只保留「大小」。所以實數的平方等於實數的模長的平方。

先不關注複數,而是關注向量。兩個向量的數量積與兩個向量的模長和夾角有關,當兩個向量的方向相同時,它們的數量積等於模長相乘,也就是失去了原來的方向。兩個相同的向量有相同的模長和方向,所以向量的「平方」等於向量的模長的平方。

最後是複數。與實數和向量不同,兩個複數相乘的結果受到這兩個複數本身的方向的影響,而不完全由它們的夾角決定。所謂複數的方向,實際上是複數的幅角。新教材增加了複數的三角表示

其中 是 的模長, 是 的幅角。設 則

也就是說,兩個複數相乘,等於將模長相乘,將幅角相加。複數的平方不僅包含模長的資訊,也包含幅角的資訊,不一定等於模長的平方。

不過,可以發現複數的平方的模長等於複數的模長的平方,這是因為對複數的平方取模長後,失去了幅角的資訊,只剩下模長的資訊了。

在引入復平面以後,會發現複數與平面向量有很多類似的地方,特別是複數的模長與平面向量的模長非常類似。然而,複數的乘法提醒你複數和平面向量的區別,以及不能將平面向量的數量積看作是普通的乘法。

4樓:Heinrich

如果只從高中課本入手,那麼

簡單而已就是運算法則根本不一樣。深究原因可能在於沒注意教科書的「微妙言辭表達」。

看到運算的定義的區別了嗎?只有在很少的時候,複數C的模的平方才等於複數C的平方。

教科書在教複數的時候使用了向量進行模擬,導致我一度也誤以為複數的平方等於向量的平方。但是如果我們仔細思考原句「複數和平面向量OZ是一一對應的」就會發現複數並不是向量,只是對應。

誠然乙個向量乘以它自己必然等於它的模的平方,但是複數就不行。根本原因在於兩種量的運算法則的定義不同。

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